Скалярний добуток векторів: формула
У геометрії та лінійній алгебрі скалярний добуток, також відомий як внутрішній добуток, є однією з основних операцій над векторами. Сам термін “скалярний” вказує на те, що результатом цієї операції є число (скаляр), на відміну від векторного добутку, де результатом є вектор. У цій статті ми детально розглянемо поняття скалярний добуток векторів: формула, її застосування, властивості та приклади.
Визначення
Скалярний добуток двох векторів (mathbf{a}) і (mathbf{b}), позначається як (mathbf{a} cdot mathbf{b}), визначається як сума добутків їх відповідних компонент:
- (mathbf{a} = (a_1, a_2, ldots, a_n))
- (mathbf{b} = (b_1, b_2, ldots, b_n))
- (mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)
Геометричний зміст
Геометрично, скалярний добуток векторів можна трактувати як добуток довжини одного з векторів на проекцію іншого на нього. Формула для скалярного добутку через їхні довжини і кут між ними має вигляд:
(mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta)
де (|mathbf{a}|) і (|mathbf{b}|) — довжини векторів, а (theta) — кут між ними.
Властивості скалярного добутку
- Комутативність: (mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a})
- Дистрибутивність відносно додавання: (mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c})
- Асоціативність з числом: ((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})), де (k) — скаляр.
- Ненегативність: (mathbf{a} cdot mathbf{a} = |mathbf{a}|^2 geq 0)
- Умова ортогональності: (mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0), якщо вектори ортогональні (кут між ними 90°).
Приклад обчислення
Розглянемо два вектори в тривимірному просторі:
- (mathbf{a} = (2, 3, 4))
- (mathbf{b} = (1, 0, -1))
Скалярний добуток цих векторів буде:
[mathbf{a} cdot mathbf{b} = 2 times 1 + 3 times 0 + 4 times (-1) = 2 + 0 – 4]
В результаті отримаємо: (mathbf{a} cdot mathbf{b} = -2).
Таблиця властивостей
| Властивість | Опис |
|---|---|
| Комутативність | (mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}) |
| Дистрибутивність | (mathbf{a} cdot (mathbf{b} + mathbf{c}) = mathbf{a} cdot mathbf{b} + mathbf{a} cdot mathbf{c}) |
| Асоціативність | ((kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})) |
| Ненегативність | (mathbf{a} cdot mathbf{a} = |mathbf{a}|^2 geq 0) |
| Ортогональність | (mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0) |
Таким чином, скалярний добуток є важливим інструментом в аналізі векторів, як у прикладній математиці, так і у фізиці. Зрозумівши і засвоївши скалярний добуток векторів формула, можна розв’язувати широкий спектр завдань від визначення кута між векторами до обчислення роботи сил в механіці.
