Що таке формула повної ймовірності та як її застосувати в розрахунках?

Формула повної ймовірності: Поглиблене пояснення та застосування

Формула повної ймовірності є однією з ключових концепцій у теорії ймовірностей, яка дозволяє визначити ймовірність події на основі умовних ймовірностей. Ця формула є незамінним інструментом у випадках, коли загальна ймовірність події не може бути розрахована безпосередньо, а також коли необхідно врахувати кілька взаємовиключних подій або сценаріїв.

Що таке формула повної ймовірності?

Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події A через множину подій B₁, B₂, …, B_n, які утворюють повну групу подій і покривають весь простір можливих результатів.

Формулу можна представити у вигляді:

P(A) = P(B₁) * P(A|B₁) + P(B₂) * P(A|B₂) + … + P(B_n) * P(A|B_n)

Де P(A|B_i) є умовною ймовірністю події A за умови, що подія B_i відбулася.

Приклад застосування формули повної ймовірності

Розглянемо приклад для кращого розуміння:

• Є три коробки: B₁, B₂, B₃.
• У кожній коробці є різна кількість червоних і синіх куль.
• Ймовірність вибору певної коробки: P(B₁) = 0.3; P(B₂) = 0.5; P(B₃) = 0.2.
• Умовні ймовірності витягнути червону кулю з кожної коробки: P(Red|B₁) = 0.1, P(Red|B₂) = 0.4, P(Red|B₃) = 0.6.

Застосуємо формулу повної ймовірності, щоб знайти загальну ймовірність витягнути червону кулю:

• P(Red) = P(B₁) * P(Red|B₁) + P(B₂) * P(Red|B₂) + P(B₃) * P(Red|B₃)
• P(Red) = 0.3 * 0.1 + 0.5 * 0.4 + 0.2 * 0.6 = 0.3 * 0.1 + 0.2 + 0.12 = 0.17

Отримуємо загальну ймовірність витягти червону кулю, що дорівнює 0.17.

Таблиця значень формули

Висновок

Формула повної ймовірності є потужним інструментом у статистичних обчисленнях, який допомагає врахувати різні умови і контексти в розрахунках ймовірностей. За допомогою цієї формули можна легко обчислити ймовірності подій у складних системах із декількома можливими сценаріями, що надає глибше розуміння статистичного аналізу та ймовірнісних моделей.